Olá, queridos alunos! Prontos para a nossa aula de número 17? Hoje vamos estudar as Produtos Notáveis. Vamos lá!
Para iniciarmos a aula de hoje, assista ao vídeo:
Os produtos notáveis, como o próprio nome sugere, são multiplicações que possuem certo destaque.
Eles aparecem com frequência no desenvolvimento de expressões algébricas. Os produtos notáveis são expressões algébricas utilizadas em muitos cálculos matemáticos, por exemplo, nas equações de primeiro e de segundo grau.
O termo "notável" refere-se à importância e notabilidade desses conceitos para a área da matemática.
Além disso, algumas expressões algébricas necessitam do conhecimento sobre produtos notáveis para facilitar sua fatoração.
:: Quadrado da Soma de Dois Termos
O quadrado da soma dos dois termos é representado pela seguinte expressão:
(a + b)²= (a + b) ∙ (a + b) = a∙a + a∙b + b∙a + b∙b
Como na multiplicação a ordem dos fatores não altera o produto, temos que a∙b = b∙a, logo a∙b + b∙a= 2ab
Logo, ao aplicar a propriedade distributiva temos que:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Assim, o quadrado do primeiro termo é somado ao dobro do primeiro termo pelo segundo termo, e por fim, somado ao quadrado do segundo termo.
:: Quadrado da Diferença de Dois Termos
O quadrado da diferença dos dois termos é representado pela seguinte expressão:
(a – b)² = (a – b) . (a – b) = a∙a – a∙b – b∙a + b∙b
Logo, ao aplicar a propriedade distributiva temos que:
(a – b)² = a² – 2ab + b²
Logo, o quadrado do primeiro termo é subtraído ao dobro do produto do primeiro termo pelo segundo termo e, por fim, somado ao quadrado do segundo termo.
:: Produto da Soma pela Diferença de Dois Termos
O produto da soma pela diferença dois termos é representado pela seguinte expressão:
(a + b) ∙ (a – b)= a ∙ a – a∙b + b∙a + b∙b
Nota-se que ao aplicar a propriedade distributiva da multiplicação, o resultado da expressão é a subtração do quadrado do primeiro e do segundo termo.
(a + b) ∙ (a – b) = a² – b²
:: Produto de Stevin
(x + a) ∙ (x + b) → x² + b∙x + a∙x + a∙b → x² + x ∙ (b + a) + a∙b
O trinômio resultado da multiplicação (x + a) ∙ (x + b) pode ser escrito na forma
x² + Sx + P, onde S é a soma a + b e P o produto de a por b.
x² + (a + b) ∙ x + a∙b
Exemplos:
a) (a + 5)² → a² + 2∙ a ∙ 5 + 5² → a² + 10a + 25
b) (x – 10)² → x² – 2 ∙ x ∙ 10 + 10² → x² – 20x + 100
c) (x – 8) ∙ (x + 8) → x² – 8² → x² – 64
d) ( 2x + 3y)² = (2x)² + 2∙ (2x) ∙ (3y) + (3y) 2 = 4x² + 12xy + 9y²
e) ( x – 3y)² = x² – 2 ∙ x ∙ (3y) + ( 3y)² = x² – 6xy + 9y²
f) ( 2x + y) ( 2x – y ) = ( 2x)² – y² = 4x² – y²
g) (x + 3) ∙ (x + 6) = x² + (3 + 6) ∙ x + 6 ∙ 3 = x² + 9x + 18
h) (x – 4) ∙ (x + 8) = x² + (–4 + 8) ∙ x + (– 4) ∙ 8 = x² + 4x – 32
:: Exercícios
1) Desenvolva:
a) ( x + 3 )² =
b) ( 2m – 1)² =
c) ( 7 + p) (7 – p) =
d) ( x + 4) ( x + 7) =
e) ( 4y – 6 )² =
f) ( 3m – 2k)² =
g) ( y – 5) (y + 8) =
h) ( 3t + 4)( 3y – 4 ) =
2) Apostila página 129 exercício 4
3) Agora, resolva também os exercícios do formulário, clicando na imagem abaixo:
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