Olá, queridos alunos! Prontos para a nossa aula de número 4? Desta vez vamos aprender conceitos sobre Retas e Ângulos.
:: Propriedades das Retas
- As retas são linhas infinitas
- Numa reta existem infinitos pontos
- As retas podem estar em três posições: horizontal, vertical e inclinada
:: Posição das Retas
As retas podem estar na horizontal, vertical ou inclinada.
:: POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS OU MAIS RETAS
Conheça quais são as posições relativas entre duas retas e quais características determinam essas posições.
As retas são linhas que não fazem curva e são formadas por infinitos pontos para as duas direções em que se estendem. Elas devem ser definidas dentro de um plano e, tomando duas ou mais, é possível analisar a posição de uma com relação à outra: as chamadas posições relativas entre retas.
:: Retas Paralelas
Duas retas são chamadas de paralelas quando não possuem ponto em comum, ou seja, em toda a sua extensão infinita, não existe nenhum ponto de encontro entre elas. Uma boa ilustração para retas paralelas, embora seja impossível mostrá-las por inteiro, é a seguinte: r//s
Duas retas paralelas: não possuem ponto em comum
:: Retas concorrentes
Duas (ou mais) retas são chamadas de concorrentes quando possuem um único ponto em comum. Nesse caso, é formado um ângulo entre elas. Quando esse ângulo é de 90°, dizemos que as retas são perpendiculares.
Portanto, sempre que duas retas são perpendiculares, elas também são concorrentes. No entanto, nem sempre que duas retas são concorrentes, elas são perpendiculares.
:: Retas coincidentes
Duas (ou mais) retas são chamadas de coincidentes quando possuem dois ou mais pontos em comum. A propriedade dessas retas é a seguinte: Se duas retas possuem pelo menos dois pontos em comum, então, elas possuem todos os pontos em comum. Observe a imagem abaixo. Note que não é possível que duas retas distintas (diferentes) possuam dois pontos em comum.
Retas coincidentes: Retas que possuem dois e, portanto, todos os pontos em comum r ≡s
A propriedade mais interessante das retas concorrentes diz respeito a seus ângulos: ângulos adjacentes são suplementares (a soma de ângulos suplementares é igual a 180°) e ângulos opostos pelo vértice (ponto de encontro das duas retas) são congruentes (iguais).
:: Ângulos congruentes
Dois ângulos são congruentes quando têm a mesma medida. Observe os ângulos abaixo:
Verifique que AÔB e CÔD têm a mesma medida. Eles são ângulos congruentes e podemos fazer a seguinte indicação:
:: Ângulos adjacentes
Dois ângulos são adjacentes quando possuem o mesmo vértice, um lado em comum e não possuem pontos internos comuns. Os ângulos AÔC e CÔB são adjacentes, pois admitem o lado OC e o vértice O em comum.
Os ângulos CÔB e AÔC não possuem pontos internos comuns
:: Ângulos Complementares
Ângulos Complementares são ângulos adjacentes, que juntos somam 90º. Em um ângulo reto (90°) dividido em duas partes, cada uma delas representa um complemento da outra.
Na imagem abaixo, o ângulo AÔC (de 60º) complementa o ângulo CÔB (de 30º). Ao mesmo tempo acontece o inverso, ou seja, o ângulo CÔB complementa o ângulo AÔC.
AÔC + CÔB = 90º
Como calcular?
Para calcular a medida de um ângulo complementar, subtraímos 90º pelo seu complemento:
A + B = 90º
A = 90º - B
B = 90º - A
Exemplo:
Calcule o ângulo complementar sabendo que um deles tem 37º.
A + B = 90º
37º + B = 90º
B = 90 - 37º
B = 53º
:: Ângulos suplementares
Observe os ângulos AÔB e BÔC na figura abaixo:
As semirretas AO e OC formam um ângulo raso (180°). Verifique que: AÔB + BÔC = 180º
Nesse caso, dizemos que os ângulos AÔB e BÔC são adjacentes e suplementares. Assim: Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180º.
Exemplo:
Os ângulos que medem 82° e 98° são suplementares, pois 82° + 98° = 180°.
Dizemos que o ângulo de 82° é o suplemento do ângulo de 98°, e vice-versa.
Como calcular?
Para calcular a medida de um ângulo suplementar, subtraímos 180° pelo seu suplemento:
A + B = 180°
A = 180° – B
B = 180° – A
:: Ângulos opostos pelo vértice
Duas retas concorrentes formam quatro ângulos. Analisados dois a dois, é possível notar que esses ângulos ou estão lado a lado ou só possuem um único ponto em comum, que também é o ponto de encontro das duas retas. Quando dois ângulos possuem essa última característica, eles são chamados de ângulos opostos pelo vértice (OPV). Os outros dois ângulos, que estão lado a lado, são chamados de ângulos adjacentes.
Ângulos opostos pelo vértice e ângulos adjacentes em retas concorrentes
Propriedades
- Ângulos adjacentes são suplementares;
- Ângulos opostos pelo vértice são congruentes, isto é, possuem medidas iguais.
Observe os ângulos a seguir:
Se α, β e θ são as medidas dos ângulos em questão, as somas α + β e β + θ são iguais a 180° porque os respectivos ângulos são adjacentes. Assim, podemos escrever:
α + β = 180 e β + θ = 180
A partir das duas igualdades acima, podemos escrever o seguinte:
180 = 180
α + β = β + θ
α = β – β + θ
α = θ
Logo, os ângulos opostos pelo vértice são congruentes.
Exemplo: Qual é a medida de cada ângulo na figura a seguir?
Solução:
Observe que o ângulo β é oposto pelo vértice ao ângulo 50°, logo, β = 50°.
Como α e θ são opostos pelo vértice, também possuem medidas iguais. Para descobrir a medida de um deles, basta se lembrar da primeira propriedade: α e θ são adjacentes e suplementares a 50°, por isso:
50 + α = 180
α = 180 – 50
α = 130° θ = 130°
Complemente esse estudo com a apostila, da página 106 até a 110, lendo o conteúdo e fazendo todos os exercícios.
:: Exercícios:
3) Marque V para VERDADEIRO e F para FALSO:
( ) Retas paralelas nunca se cruzam, mantendo a mesma distância entre si.
( ) Retas concorrentes são aquelas que se cruzam formando um ângulo de 90°.
( ) Retas perpendiculares são aquelas que se cruzam de qualquer maneira.
( ) Toda perpendicular é concorrente quando se cruzar formando um ângulo de 90°.
4) As retas a seguir foram representadas sobre uma malha quadrangular.
a) Quais são retas paralelas? _______________________________________________________________
b) Quais retas são concorrentes à reta p? ______________________________________________________
c) Quais retas são perpendiculares à reta p? ___________________________________________________
5) Calcule o complemento do ângulo de 53º.
6) Indique a medida dos ângulos complementares tal que um é o dobro do outro.
7) Um ângulo mede 120°, qual a terça parte do suplemento desse ângulo?
8) Se um ângulo mede 170°, qual é o complemento do suplemento desse ângulo?
9) Calcule os ângulos indicados pelas letras:
10) Calcule os ângulos indicados pelas letras:
Agora, resolva também os exercícios do formulário, clicando na imagem abaixo:
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